巧妙求函數(shù)最值公式(巧妙求函數(shù)最值例題)

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這是2022年高考數(shù)學(xué)全國文科卷子A最后的填空題。這是一個求解三角形的問題，但其核心步驟是找到函數(shù)的最大值。需要對其進(jìn)行變形，利用一致不等式來更巧妙地解決問題。

已知ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，ADB=120度，AD=2，CD=2BD.當(dāng)AC/AB取最小值時，BD=______.

請您親自嘗試一下！

分析：首先畫一張草圖，這對解決問題會有很大的幫助。否則，就像人的眼睛被蒙住了一樣，就像一只無頭蒼蠅不知道飛向哪里，除非你有一個超級大腦，可以在頭腦中構(gòu)建圖形并分析圖形和問題。反正老黃是做不到的。

這張圖一點(diǎn)也不復(fù)雜。解決問題的突破口在于余弦公式的應(yīng)用。在三角形ABD中，表達(dá)了角ADB的余弦公式。角ADB的大小為120度，對邊為AB，從而得到：

AB^2=BD^2+AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2+2BD+4；

在三角形ACD中，還表達(dá)了角度ADC的余弦公式。因?yàn)榻嵌華DC和角度ADB是互補(bǔ)角，角度ADC等于60度，對邊為AC，所以有：

AC^2=CD^2+AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD+4.

比較兩個余弦公式，我們有：

(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD+4)/(BD^2+2BD+4)=4-(12(BD+1))/(BD+1)^2+3).

(AC/AB)^2可以看成是一個關(guān)于BD的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最優(yōu)值的問題。因?yàn)楫?dāng)(AC/AB)^2最小時，AC/AB也最小。但我們想要的并不是這個最小值，而是得到最小值時BD的值。

尋找這個函數(shù)最優(yōu)值的方法有很多，但黃認(rèn)為使用均值不等式相對簡單。但平均不等式不能直接應(yīng)用。因此，函數(shù)的分?jǐn)?shù)作為減數(shù)必須采用倒數(shù)的形式?，F(xiàn)在：

記M=((BD+1)^2+3)/(BD+1)=BD+1+3/(BD+1).

只要M最小，那么M的倒數(shù)就最大，即原函數(shù)作為減數(shù)部分的分?jǐn)?shù)最大，原函數(shù)最小。顯然M的表達(dá)可以使用均值不等式。

當(dāng)BD+1=3/(BD+1)時，M最小.AC/AB最小.

這時我們只需要求出BD的值即可。這是關(guān)于BD的分?jǐn)?shù)階方程，可以解為BD=3-1.具體解方程的過程，請自行腦補(bǔ)。

那么你完成了嗎？解決辦法和老黃的一樣嗎？