氫原子徑向波函數(shù)公式(氫原子和類氫原子的徑向波函數(shù))

1月28日12:00，《張朝陽的物理課》第二十三集播出。搜狐創(chuàng)始人、董事長(zhǎng)兼首席執(zhí)行官?gòu)埑栕谒押曨l直播間，繼續(xù)討論氫原子問題。他首先回顧了與氫原子相關(guān)的三個(gè)重要算子，回顧了上次波函數(shù)角部分的結(jié)果，補(bǔ)充了量子疊加的概念，然后開始具體求解薛定諤方程的波函數(shù)徑向部分。

通過分析r趨于0和r趨于無窮大的情況，張朝陽猜測(cè)了徑向波函數(shù)解的近似形式，并對(duì)氫原子的徑向薛定諤方程進(jìn)行了變形和簡(jiǎn)化。將解表示為級(jí)數(shù)展開式，推導(dǎo)其系數(shù)的遞推關(guān)系，并求解量子化氫原子的能級(jí)和徑向波函數(shù)。通過分析電子的概率分布，尋找r方向的最大值，得到氫原子半徑。

分析r趨于0與無窮的漸進(jìn)行為化簡(jiǎn)與變形氫原子徑向薛定諤方程

“我們長(zhǎng)期以來一直在與氫原子競(jìng)爭(zhēng)。”張朝陽在直播間一開始就說道，“宇宙中的第一元素是氫，如果你認(rèn)識(shí)了氫，你就會(huì)認(rèn)識(shí)世界，包括認(rèn)識(shí)我們自己，認(rèn)識(shí)每個(gè)人有多少碳水化合物？”

在開始解釋氫原子的徑向波函數(shù)之前，張朝陽回顧了上次角波函數(shù)的結(jié)果，并補(bǔ)充說利用量子疊加的概念，可以得到不同方向旋轉(zhuǎn)的角波函數(shù)，從而完成了文章關(guān)于氫原子。所有關(guān)于角度方向的討論。本課是求解氫原子的最后一步。張朝陽將帶領(lǐng)網(wǎng)友求解氫原子的徑向薛定諤方程。

該方程與氫離子方程類似。它比前面課程中的方程多了一個(gè)Z，它代表原子核攜帶的電荷數(shù)。氫原子Z=1意味著氫原子核帶有1個(gè)單位的正電荷。引入Z是為了方便下一堂課討論多電子原子。為了方便起見，此類氫離子方程仍稱為氫原子方程。

“為了讓它看起來簡(jiǎn)單。”他首先介紹了求解方法，“我們定義以下兩個(gè)新參數(shù)來簡(jiǎn)化這個(gè)方程?！?/p>

并定義一個(gè)新函數(shù)u：

這樣，徑向薛定諤方程可以簡(jiǎn)化為：

“但是，這種新形式的方程仍然很難求解。如果我們?nèi)匀粡?qiáng)制使用級(jí)數(shù)展開式來求解，則遞推關(guān)系將非常復(fù)雜?！彼赋隽藛栴}所在。“為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，我們首先分析它在r趨于無窮大和r趨于0時(shí)的漸近行為。”他邊分析邊推導(dǎo)，當(dāng)r趨于無窮大時(shí)，方程會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，函數(shù)u可以求解當(dāng)r趨于無窮大時(shí)，有如下漸近行為。他還提到，另一種解被丟棄，因?yàn)樗粷M足波函數(shù)的束縛態(tài)條件。

他繼續(xù)推論，隨著r趨于0，方程變得更簡(jiǎn)單。還可以解出，當(dāng)r趨于0時(shí)，u函數(shù)有如下漸近行為。另一個(gè)解對(duì)應(yīng)的波函數(shù)在r=0時(shí)過于發(fā)散，導(dǎo)致粒子出現(xiàn)在此處任意小體積元素的概率為是無限的，所以也被丟棄。

最后，具體提取了兩者的漸近行為，并定義了一個(gè)新的函數(shù)R：

并將該關(guān)系式代入u滿足的方程中，可得R滿足的方程：

因此，我們只需求解R即可求解氫原子的徑向薛定諤方程。

級(jí)數(shù)解法與遞推關(guān)系解出能級(jí)與徑向波函數(shù)

為了求解R，類比上一節(jié)求解勒讓德方程的方法，張朝陽將R寫成級(jí)數(shù)展開式的形式：

將其代入R所滿足的方程中，即可得到其系數(shù)所滿足的遞推關(guān)系：

他說，如果這個(gè)級(jí)數(shù)有無窮項(xiàng)，那么k可以取無窮大，當(dāng)k很大時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)R的展開系數(shù)之間的遞推關(guān)系就是e索引。同樣，即當(dāng)r趨于無窮大時(shí)，函數(shù)R(r)根據(jù)e呈指數(shù)發(fā)散。將原來的波函數(shù)的表達(dá)式代入回去，會(huì)發(fā)現(xiàn)波函數(shù)不滿足束縛態(tài)的條件。

因此，為了獲得束縛態(tài)，或者說為了使徑向波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)趨于0，必須要求這個(gè)級(jí)數(shù)不能是無窮多項(xiàng)式，即必須有截?cái)啵鴮?duì)應(yīng)的條件是，在某個(gè)k時(shí)，上述遞推關(guān)系的分子為零。

“這樣，大于k的展開系數(shù)都為0了?！彼o出了答案：“根據(jù)和E的關(guān)系，可以具體寫出能量的表達(dá)式。”

（氫原子的離散能級(jí)由遞推關(guān)系推導(dǎo)出來）

通過推導(dǎo)可以清楚地看出，氫原子的能級(jí)是離散的，而不是像經(jīng)典力學(xué)那樣連續(xù)的。

張朝陽進(jìn)一步利用u與R的關(guān)系以及徑向波函數(shù)與u的關(guān)系，得到徑向波函數(shù)的表達(dá)式：

他介紹，如果將這個(gè)徑向波函數(shù)歸一化，并與上一課求解的角波函數(shù)結(jié)合起來，就可以得到氫原子整體波函數(shù)的表達(dá)式：

“N稱為主量子數(shù)，用于標(biāo)記能級(jí)。l稱為角量子數(shù)，用于標(biāo)記角動(dòng)量。m稱為磁量子數(shù)，用于標(biāo)記z角動(dòng)量的分量?！彼忉尩?。

（終于解決了氫原子波函數(shù)）

解決完氫原子的徑向波函數(shù)后，張朝陽帶著網(wǎng)友詳細(xì)觀察了氫原子的基態(tài)。此時(shí)，Z設(shè)為1，n設(shè)為1，l和m均設(shè)為0。根據(jù)量子態(tài)的概率解釋，可以利用徑向波函數(shù)來計(jì)算電子出現(xiàn)在不同半徑的球殼。

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球殼半徑恰好為玻爾半徑時(shí)，電子出現(xiàn)的概率最大，即氫原子半徑恰好為玻爾半徑。這說明氫原子的薛定諤方程求解出的氫原子半徑與粗略的舊量子力學(xué)完全一致。由此產(chǎn)生的氫原子半徑驚人地一致。

(氫原子半徑的推導(dǎo))

在推導(dǎo)過程中，因?yàn)樾枰罅康臄?shù)學(xué)知識(shí)，張朝陽一度開玩笑說，“今天是數(shù)學(xué)課，你跟我學(xué)數(shù)學(xué)?！彼€解釋說，“我們的班級(jí)，無論是大學(xué)水平還是初中水平，無論水平如何，我們都是來解決問題的，山上開路，水里架橋，需要什么就學(xué)什么””。

搜狐視頻發(fā)力知識(shí)直播傳播知識(shí)玩轉(zhuǎn)科學(xué)

自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播20余場(chǎng)。第一課和第二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，并計(jì)算了馬斯克的飛船和中國(guó)空間站每天的軌道數(shù)。第三、四課與“振動(dòng)”相關(guān)，普及了可見光的基礎(chǔ)知識(shí)。知識(shí)；第五課和第六課引發(fā)了關(guān)于聲速和溫度的大討論；在第七課、第八課和第九課中，我們重新審視了經(jīng)典物理學(xué)的兩朵烏云。

第10課和第11課重點(diǎn)復(fù)習(xí)黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第12、13、14課嘗試進(jìn)入愛因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc”，并演示時(shí)鐘慢尺的收縮效應(yīng)；第15課解釋了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變；第16課開始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理、薛定諤方程等。

從20多節(jié)物理課就可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風(fēng)格是獨(dú)一無二的?！^察日常生活現(xiàn)象，用網(wǎng)友最熟悉的話題來增強(qiáng)興趣，然后通過公式推導(dǎo)解釋其背后的物理原理，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而解決生活中的類似問題。

張朝陽認(rèn)為，研究自然世界是一件特別有趣的事情。他希望物理課上的觀眾能夠保持好奇心，“在好奇心的驅(qū)使下，了解自然的奧秘，了解我們?cè)谶@個(gè)世界上生存的原理”。在后續(xù)課程中，他將繼續(xù)以這種直播方式講解生活中常見的物理現(xiàn)象，讓普通人看得懂、專業(yè)人士認(rèn)得，激發(fā)一股科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。課程每周五、周日12點(diǎn)在搜狐視頻直播。同時(shí)，網(wǎng)友可在搜狐視頻“關(guān)注直播”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。

除了《張朝陽的物理課》之外，搜狐視頻還邀請(qǐng)了多家普教主播進(jìn)行科普知識(shí)傳播，傳遞價(jià)值。北京交通大學(xué)理學(xué)院教師陳政博士玩“有趣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)”，走進(jìn)“光的波粒二象性”；鮑坤，博士康奈爾大學(xué)物理化學(xué)博士，成為“玩科學(xué)的包先生”。教普通人如何理解2021年諾貝爾獎(jiǎng)；劉伯陽，博士天體物理學(xué)博士，科普“日全食是如何發(fā)生的？”而最近走紅的理論物理學(xué)博士后周思怡也來到搜狐視頻開設(shè)了《弦論的世界》直播課。未來將會(huì)有更多的知識(shí)主播加入進(jìn)來，一起互動(dòng)、玩轉(zhuǎn)科學(xué)。