e的十大表達式是什么(e的十大表達式怎么寫)
原版林根數(shù)學林根數(shù)學2022-03-1511:24
e作為一個數(shù)學常數(shù)，是自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)。它有時被稱為歐拉常數(shù)，以瑞士數(shù)學家歐拉的名字命名；事實上，常數(shù)e第一次被發(fā)現(xiàn)是由JohnNapier在1618年2001年出版的一本關于對數(shù)的書的附錄中的一個表格。是的，這個Napier就是發(fā)明對數(shù)的人，但他并沒有記錄這個常數(shù)，只有一個基于它計算的對數(shù)表。有趣的是，在歷史上，對數(shù)是先出現(xiàn)的，對數(shù)和指數(shù)之間的關系是后來發(fā)現(xiàn)的，這與現(xiàn)在教科書上的順序正好相反。事實上，直到1770年，歐拉才第一個指出“對數(shù)是由指數(shù)推導出來的”。此時，對數(shù)和指數(shù)的發(fā)明已經(jīng)有一百多年了。
第一個將e視為常數(shù)的人是雅各布·伯努利(JacobBernoulli)，但沒有證據(jù)。已知第一個使用e的人是戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)。萊布尼茨(Leibniz)在1690年和1691年的通信中提到過，但使用e來表示常數(shù)是由歐拉(Euler)在1727年開始的。
那么，歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個自然常數(shù)e的呢？當時，歐拉試圖解決半個世紀前另一位數(shù)學家雅各布·伯努利提出的一個問題：假設你把1元錢存入銀行，銀行提供的年利率是100%，也就是說，經(jīng)過1年，連利息2元。那么現(xiàn)在假設每六個月計算一次利息，半年利率為50%或0.5。本方案每年計息一次，本金和利息合計為1+10.5=1.5元。那么下半年本金和利息按照(1+0.5)2=2.25元計算，即一年2.25元。那么如果當前的利率計算周期更短的話會發(fā)生什么呢？假設每月結(jié)算一次，月利率為1/12，本息計算為(1+1/12)12，最終結(jié)果約為2.61304元?？磥砝⑵谙拊蕉蹋貓缶驮胶?。然而，雅各布·伯努利發(fā)現(xiàn)，當n趨于無窮大時，這種連續(xù)復利存在一個極限值。
這個極限是由歐拉50年后計算到小數(shù)點后18位：
e=2.71828182845904523。當時歐拉的計算已經(jīng)是當代極限，但現(xiàn)代計算機可以毫無困難地得到e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772。40766303535475945713821785251664274……。
這可以在任何微積分教程中得到證明。使用的單調(diào)有界序列必須有極限。
它還有另一種極端形式：
事實上，在數(shù)的發(fā)展史上，幾何發(fā)現(xiàn)往往是第一推動力，比如、2等的發(fā)現(xiàn)。
雖然e的發(fā)現(xiàn)并不是從幾何開始的，但它也可以有以下幾何解釋：
設n個相同的矩形ABCD組成的矩形為ABEF，設AB=x，BE=y，則x2=n，y2=n(n+1)，(y/n)2=1+1/n，
說到變化，很難證明e的非理性和超越性。直到1873年，法國數(shù)學家查爾斯·埃爾米特才證明了e的超越性。但到目前為止，ee的超越性還不清楚。這些都是數(shù)論的范疇，相對較難。
其實e在數(shù)論中有著神奇的存在，尤其是在素數(shù)分布中：
所有大于2n形式的偶數(shù)都具有以e為中心的共軛奇數(shù)組。每組之和為2n，且至少有一組是共軛素數(shù)。可以說是素數(shù)的中軸，但也只是奇數(shù)的中軸。
自然常數(shù)也與素數(shù)的分布有關。存在某個自然數(shù)a，那么大約有一個比它小的素數(shù)。當a較小時，結(jié)果不太正確。但隨著a的增加，這個定理會變得越來越準確。這個定理稱為素數(shù)定理，是由高斯發(fā)現(xiàn)的。
e在現(xiàn)代幾何中有一種奇怪的行為。首先，我們看一下完整圖：中e的行為
在圖論的數(shù)學領域中，完全圖是一種簡單的無向圖，其中每對不同的頂點恰好由一條邊連接。完整的有向圖又是一個有向圖，其中每對不同的頂點都由一對唯一的邊（每個方向各一條）連接。具有n個端點的完全圖有n個端點和n(n1)/2條邊，用Kn表示。它是一個(k-1)-正則圖。每個完整的圖都是它自己的一個派系。
圖論本身始于萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)1736年關于柯尼斯堡七橋的研究。然而，完整圖的繪制（其頂點位于正多邊形的點處）早在13世紀就已出現(xiàn)。此類畫有時被稱為神秘玫瑰。
假設完整圖中的路徑總數(shù)為W，哈密頓道路總數(shù)為h，則
W/h=e.
這個定律進一步證明了e不是有意構(gòu)造的，e甚至可以稱為完全率。與pi有一定的相似性?？磥順O限完全圖就是圖論中的圓，哈密頓路就是直徑。自然常數(shù)的含義是極限完全圖中路徑總數(shù)與哈密頓道路總數(shù)的比值。
我們來看看e在凸體：中的表現(xiàn)
自Bartos于1968年提出頂角概念以來，姜星耀于1987年證明了任意n維單純形n的任意n+1個頂角均成立不等式
由此可見
至于e的級數(shù)表達式，常見的是：
這個證明可以在任何高等數(shù)學書中找到，它是泰勒公式的一個特例。
至于e與復數(shù)的聯(lián)系，下面這個公式非常有名，受到陶哲軒、張益堂的推崇。
這個方程的神奇之處在于，它連接了高等數(shù)學中常用的三個著名數(shù)字e、i和。虛數(shù)與實數(shù)交替，實虛運算最終回歸現(xiàn)實，符合哲學和推測。
類似的例子還有一些可以舉，也是相當有趣的表達方式。
1719年，意大利數(shù)學家法尼亞諾獲得
1997年，中國建筑師李明波榮獲
該公式下面的一些等效形式看起來更好。
不太常見的是Ramanujan（中文：SrinivasaRamanujan=泰米爾語：=英語：SrinivasaRamanujan），
這是連分數(shù)的表達式。1913年，拉馬努金給英國著名數(shù)學家哈代寄了一封長達9頁的信，其中包括拉馬努金自己發(fā)現(xiàn)的120個公式。上式就是其中之一。這些公式?jīng)]有證明過程。據(jù)說，大部分都是拉馬努金通過心算得出的。然而，拉馬努金的短暫一生卻令人惋惜。關于拉馬努金的故事可以參考電影《知無涯者》。
視頻詳細介紹了他給出了整數(shù)n的分割函數(shù)P(n)的估計公式，并證明了P(n)的漸近公式。這個公式從發(fā)現(xiàn)、證明到被數(shù)學家認可，經(jīng)歷了漫長的痛苦時期。他的工作對后來的數(shù)學家產(chǎn)生了很大的影響。
拉馬努金過去靠直覺推導公式，不喜歡證明，但事后證明他是對的。他留下的未經(jīng)證實的公式引發(fā)了后來的大量研究。
電影里還有一個很有趣的部分，就是1729年的故事，他和哈代乘坐過一次1729年的出租車。他告訴哈代，這是一個有趣的數(shù)字，因為1729可以表示為兩個立方之和，并且有兩種表達方式。其中，1729是最小的。（即1729=13+123=93+103。后來這種數(shù)字被稱為出租車號碼。）在電影的最后（拉馬努金去世后），當哈代和他的朋友們乘坐出租車時，他把剛上車的朋友從出租車里抱了出來。我下了出租車，坐了下一輛，車牌是1729。
最后，e在概率論中也有神奇的應用，比如維基百科中提到的“Derangements”問題：
將n頂帽子隨機放入n個位置。假設每頂帽子都有預設的正確位置，那么所有帽子都處于錯誤位置的概率是多少？我認為這個和有n個整數(shù)，假設1,2,3,n。從小到大是自然正確的順序。那么如果將這n個數(shù)字隨機排列的話，每個數(shù)字都會走到“其他人”的位置的概率是多少呢？
可以有如下解法：首先，有n！n個數(shù)的多種排列，且全部正確，概率為1/n!
消除所有錯誤后的排列數(shù)為：
那么有
顯然有
這表明當n取不同的奇數(shù)和偶數(shù)時，該概率圍繞1/e來回波動。
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《林根數(shù)學》材料（注意：以下材料為課堂使用，不單獨提供）
1、《高考數(shù)學全觀》（上、下）（高考第一輪）教案和學習計劃
2、《高考數(shù)學重觀》（高考第二輪）教案和學習計劃
3.《清北數(shù)學高觀》教案及學案
4.《中考數(shù)學微觀》教學計劃和學習計劃
5、人民教育出版社必修課1-5全套教案和學習計劃